FISICA

 

Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con un número y una unidad. Por ejemplo, una masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su magnitud representada por el número (para el caso, 30 es la magnitud) y las unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades sonescalares.

*Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad.

Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades deben tener las mismas unidades para poder operarse.

30 kg + 40 kg = 70 kg

20 s + 43 s = 63 s

Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.

Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además se debe especificar unadirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son vectoriales.

*Definición: Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección.

Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.

Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su dirección y sentido: "una velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco de referencia determinado (los puntos cardinales).

Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad, aceleración, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento entre otras.

 

 

Existen diferentes formas de expresar una cantidad vectorial. Una de ellas es la fotma polar, que se escribe como un par de coordenadas, en las cuales denotan su magnitud y su dirección. Por ejemplo, La velocidad (30 m/s,60º), quere decir "velocidad de 30 m/s a 60º desde el origen del marco de referencia dado".

 

VECTORES

Los vectores se representan por medio de flechas. El sentido del vector está dado por medio del indicador de la flecha o punta de flecha; la magnitud del vector está dado por el tamaño del vector y la dirección por la inclinación que tenga la flecha. Generalmente el marco de referencia utilizado es el plano cartesiano, con el eje x positivo dirigido hacia la derecha y el eje y positivo dirigido hacia arriba.

Ejemplo. Considere los vectores D1 (verde) y D2 (azul) representados en la figura. El vector D2 tiene mayor magnitud que el vector D1 (observe el tamaño). Según el marco de referencia propuesto, ambos tienen sentidos opuestos y la dirección para D1 es 60º y para D2 es de 80º desde el eje negativo y (es decir, 190º).

 

 

Generalmente los vectores se representan con una letra (comunmente la letra inicial de la propiedad que denota la cantidad) y encima de esa letra una flecha hacia la derecha. Por ejemplo:

Vector velocidad: 

La magnitud de un vector se representa por medio de barras verticales:

 Magnitud del vector velocidad.

La dirección del vector está dada por un ángulo θ con respecto al marco de referencia. Generalmente, éste ángulo se mide a partir del eje x positivo.

El sentido del vector está dado por el signo que lo antepone. Por ejemplo, si el vector  está dirigido hacia el norte, entonces el vector - está dirigido hacia el sur.

Las operaciones con vectores suelen ser más complejas debido a la introducción de las nuevas propiedades (dirección y sentido). En las siguientes lecciones, se muestran algunos métodos para poder realizar sumas y restas de vectores.

 

Para utilizar métodos gráficos en la suma o resta de vectores, es necesario representar las cantidades en una escala de mediciónmanipulable. Es decir, podemos representar un vector velocidad de 10 m/s hacia el norte con una flecha indicando hacia el eje y positivo que mida 10 cm, en la cual, cada cm representa una unidad de magnitud real para la cantidad (1 m/s).

El vector que resulta de operar dos o más vectores, es conocido como el vector resultante, o simplemente la resultante .

El método del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos vectores, con su magnitud a escala, dirección y sentido originales, en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto. Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se construyen trazando lineas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud. El vector suma resultante se representa a escala mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.

Ejemplo. Una bicicleta parte desde un taller de reparación y se desplaza (4 m,30º) y luego (3 m, 0º). Encuentre el desplazamiento total de la bicicleta, indicando la dirección tomada desde el taller.

El desplazamiento total se da en dos tramos. Cada tramo desplazado se representa por los vectores d1 y d2. El desplazamiento total es D = d1 y d2.

Los dos vectores son dibujados a la misma escala, y se colocan en el mismo origen. Luego se trazan las lineas paralelas.

 

 

Si medimos con una regla, a la escala dada, el tamaño del vector resultante debe dar aproximadamente 6.75 unidades de la escala; es decir, la magnitud del vector desplazamiento total es de 6.75 m.

La medida de la dirección se toma con la ayuda de un transportador, y debe dar aproximadamente 17º desde el origen propuesto. El sentido del vector resultante es positivo, según el marco de referencia común (plano cartesiano, hacia x positivo y hacia y positivo). Entonces como resultado, la bicicleta se desplaza (6.75 m,17º).

 

Éste es el método gráfico más utilizado para realizar operaciones con vectores, debido a que se pueden sumar o restar dos o más vectores a la vez. El método consiste en colocar en secuencia los vectores manteniendo su magnitud, a escala, dirección y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la punta flecha del anterior. El vector resultante esta dado por el segmento de recta que une el origen o la cola del primer vector y la punta flecha del último vector.

Ejemplo. Sean los vectores:

 

Encontrar .

Resolviendo por el método del polígono, la figura resultante es:

Si se utilizan los instrumentos de medición prácticos, se obtiene que :

y que θ es aproximadamente 80ª.

Cuando dos vectores se restan, el procedimiento anterior es el mismo, lo único que cambia es el sentido del vector que le sigue al signo menos. Por ejemplo, al restar el vector D2 del vector D1 se tiene:

D1- D2 = D1+ (-D2).

La expresión del miembro derecho de la ecuación anterior designa un cambio en el sentido del vector D2; entonces, la expresión queda como una suma, y por lo tanto, se sigue el procedimiento del método gráfico mostrado anteriormente.

Los métodos gráficos ofrecen una manera sencilla de sumar o restar dos o más vectores; pero cuando las magnitudes de los vectores son demasiado grandes o poseen una gran cantidad de decimales, éstos métodos se vuelven imprecisos y difíciles de manipular a escalas de medición menores. Es por eso, la necesidad de un método matemático nemotécnico, que permita dar una mayor precisión en el cálculo de vectores resultantes, no sólo en la magnitud, sino además en la dirección de ellas. En las siguiente lección se muestra éste método, que sugiere el estudio previo de las funciones trigonométricas, debido a que se basa en la trigonometrá de un triángulo rectángulo.

 

La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que actúa. Por ejemplo, suponga una fuerza (cantidad vectorial) que mueve una caja grande arrastrándola por el suelo. La caja se moverá más fácil si se hala por medio de una cuerda inclinada (como se muestra en la figura) que si se empuja, debido a que la cuerda levanta la caja y la mueve hacia adelante al mismo tiempo. En forma similar, al empujar la caja, se produce el efecto de añadir peso. Esto da la idea de que una fuerza, y en general, un vector, tiene componentes verticales y horizontales que podrían reemplazar al vector.

 

 

En general, las componentes de un vector son otros vectores, en direcciones particulares. El eje de referencia principal más utilizado es el plano cartesiano. Según éste marco de referencia, las componentes horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes verticales son vectores en dirección al eje y.

Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud del vector principal por medio del teorema de pitágoras, tomando como catetos las componentes, y como hipotenusa el vector principal. La dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de las componentes por medio de las relaciones trigonométricas conocidas para un triángulo rectángulo simple. Las relaciones más utilizadas son el seno, coseno y tangente.

 

Ejemplo. Encuentre la magitud de las componentes en x e y del vector (3.5 u,60º).

 

La componente en x se puede encontrar fácilmente utilizando la relación del cosena:

Resolviendo: Componente en x = (3.5 u)*cos(60º) = 1.75 u.

De manera similar, se puede encontrar la magnitud de la componente en y por medio de la relación del seno; pero además se conoce la magnitud del vector principal, lo cual permite utilizar el teorema de pitágoras:

Resolviendo:

Componente en y = 3.03 u

En general, las componentes de un vector pueden verse como efectos o proyecciones a lo largo de los ejes x e y. Considere el vector V. Podemos escribir las componentes en x e y del vector V en términos de su magnitud V y su dirección θ:

- Componente en x, o Vx = V cos θ

- Componente en y, o Vy = V sen θ

donde θ es el ángulo, medido en dirección antihoraria, entre el vector V y el lado positivo del eje x.

 

 

Éste método mejora la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante por medio del conocimiento de las componentes del vector; además tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez, mediante un proceso algebraico.

El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de ésta operación es la componente en x del vector resultante. De igual manera, se operan las componentes en y de los vectores principales y el resultado es la componente en y del vector resultante. Obtenidas las componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, dirección y sentido de éste vector.

Cuando una componente, en x o en y, tiene un valor negativo, el sentido de ésa componente es contrario a los lados positivos del marco de referencia. Por ejemplo, si una componente en y tiene un valor negativo, la proyección en el eje y de ése vector apunta hacia abajo.

Ejemplo. Calcule la resultante de las fuerzas que se presentan en la figura.

 

Note que θ para los vectores B y C no son los que se presentan en la figura, sino que se deben calcular a partir del eje x positivo (ángulos suplementarios).

Para el vector B, θ = 180º - 45º = 135º

Para el vector C, θ = 180º + 55º = 235º

 

Calculando las componentes en x de los vectores A, B y C:

Ax = (200 N) cos (30º) = 173.20 N

Bx = (300 N) cos (135º) = - 212.13 N

Cx = (155 N) cos (235º) = - 88.90 N

 

Calculando las componentes en y de los vectores A, B y C:

Ay = (200 N) sen (30º) = 100 N

By = (300 N) sen (135º) = 212.13 N

Cy = (155 N) sen (235º) = - 126.97 N

 

Luego se calcula la fuerza resultante, encontrando las componentes de ésta fuerza, a partir de una simple suma de componentes de fuerzas individuales.

 

La Fuerza Resultante F es la suma de las fuerzas individuales; es decir, de los vectores anteriores:

Fx = Ax + Bx + Cx = 173.20 N + (- 212.13 N) + (- 88.90 N) = - 127.83 N.

Fy = Ay + By + Cy = 100 N + 212.13 N + (- 126.97 N) = 185.16 N.

Si dibujamos esas componentes resultantes, obtenemos un vector como se muestra en la siguiente figura:

 

 

La magnitud del vetor resultante se encuentra por el teorema de pitágoras:

 

 

Para el cálculo del ángulo θ, se introduce el valor de un nuevo ángulo φ, que es aquel formado por la componente en x del vector resultante y el vector resultante. Esto se hace debido a que al utilizar una función trigonométrica que relacione las componentes, ésta es válida si y sólo si la relación es de un triángulo rectángulo. Para el caso, al encontrar φ, se puede calcular el valor de θ, así:

θ = 180º - φ

La función trigonométrica que relaciona las dos componentes es la de tangente:

 

 

Note que para utilizar la función trigonométrica se deben operar los valores absolutos de las magnitudes de las componentes, para que el resultado sea el valor absoluto del ángulo.

La relación θ = 180º - φ es válida para los vectores que estén en el 2º cuadrante del plano cartesiano; si el vector está en el 3º o 4º cuadrante, se procede así:

Tercer cuadrante: θ = 180º + φ

Cuarto cuadrante: θ = 360 º - φ

 

Cuando un objeto es lanzado al aire, éste sufre una aceleración debida al efecto del campo gravitacional. El movimiento más sencillo de éste tipo es la caida libre; pero cuando un cuerpo, además de desplazarse verticalmente, se desplaza horizontalmente, se dice que tiene un movimiento de proyectil, también conocido comomovimiento parabólico, que es un caso más general de un cuerpo que se lanza libremente al campo gravitacional, y se trata de un movimiento bidimensional.

Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil*. En éste movimiento, se desprecia el efecto de la resistencia del aire; entonces, el único efecto que un proyectil sufre en su movimiento es su peso, lo que le produce una aceleración constante igual al valor de la gravedad.

 

 

Si la aceleración la definimos como una cantidad vectorial, entonces debería tener componentes en x e y. Pero para el caso, la única aceleración existente en el movimiento es la de la gravedad; como no existe ningún efecto en el movimiento horizontal del proyectil, la aceleración no tiene componente en x, y se limita entonces a ser un vector con dirección en el eje y.

Con lo anterior no quiere decir que la componente en x de la velocidad sea igual a cero (recordando que la velocidad es un vector).

Al analizar el movimiento en el eje x, la aceleración es igual a cero, entonces no existe cambio de la velocidad en el tiempo; por lo tanto, en el eje x se da un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.). Cuando el movimiento del proyectil es completo, es decir, se forma la parábola como se muestra en la figura anterior, el desplazamiento máximo en x (Xmax) se le conoce como el alcance horizontal del movimiento.

En cambio, en el eje y, se tiene una aceleración constante, igual al valor de la gravedad. Como la aceleración es constante, en el eje y se tiene un movimiento igual a una caida libre de un cuerpo. Cuando el movimiento del proyectil forma la parabola que se muestra en la figura anterior, el desplazamiento máximo en y (Ymax) se conoce como la altura máxima del movimiento. Si el movimiento es completo (forma la parábola completa), la altura máxima se da justamente en la mitad del tiempo en el que se llega al alcance horizontal; es decir, a la mitad del tiempo del movimiento completo.

La forma más sencilla de resolver problemas que involucran éste tipo de movimiento es analizar el movimiento en cada eje, encontrando las componentes de la velocidad en cada eje y sus desplazamientos. Las fórmulas que se utilizan son las mismas deducidas para el M.R.U. y la caida libre.

 

 

Ejemplo. Se dispara un proyectil de mortero con un ángulo de elevación de 30º y una velocidad inicial de 40 m/s sobre un terreno horizontal. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar a la tierra; b) El alcance horizontal del proyectil.

 

 

Se tiene el valor de la magnitud de la velocidad inicial y el ángulo de elevación. A partir de ello, se pueden encontrar las componentes de la velocidad inicial Vox y Voy:

 

Vox = Vo cos θ = (40 m/s) cos (30º) = 34.64 m/s. (Ésta es constante)

Voy = Vo Sen θ = (40 m/s) sen (30º) = 20.0 m/s.

 

a) Si analizamos el tiempo en el que el proyectil tarda en llegar a la altura máxima, podemos encontrar el tiempo total del movimiento, debido a que es un movimiento parabólico completo. Suponga que tº es el tiempo en llegar a la altura máxima.

En el punto de la altura máxima, Vfy = 0 m/s. El valor de la aceleración de la gravedad, para el marco de referencia en la figura, siempre es negativo (un vector dirigido siempre hacia abajo). De la ecuación de caida libre:

 

 

Como tº = t/2, donde t es el tiempo total del movimiento:

t = 2 * (2.04 s) = 4.08 s

b) El tiempo total del movimiento es el mismo tiempo en el que se obtiene el alcance horizontal. De M.R.U.:

 

d = Xmax = Vx * t = (34.64 m/s) * (4.08 s) = 141.33 m

 

 

 

 

Una de las aplicaciones más comunes de éste tipo de movimiento es cuando el movimiento parabólico no es completo. Por ejemplo, una bomba que cae desde un avión describe la mitad de una parábola o cuando una pelota rueda sobre una mesa y cae por el borde. A éste tipo de movimiento se le llama comummente movimiento semiparabólico.

Ejemplo. Un libro que se desliza sobre una mesa a 1.25 m/s cae al piso en 0.4 s. Ignore la resistencia del aire. Calcule: a) La altura de la mesa; b) la distancia horizontal desde el borde de la mesa a la que cae el libro; c) las componentes vertical y horizontal de la velocidad final;d) la magnitud y dirección de la velocidad justo antes de tocar el suelo.

 

 

Éste ejemplo comienza su movimiento justo a la mitad de un tiro parabólico completo; por lo tanto, se comienza en la altura máxima de un movimiento de proyectil, con una velocidad inicial en y igual a cero (Voy = 0 m/s).

a) La altura de la mesa es igual a la altura máxima del movimiento. Como la altura es el desplazamiento en el eje y, comenzamos analizando en dicho eje.

De la fórmula: Vfy = Voy + g*t

se obtiene: Vfy = (0 m/s) + (-9.8 m/s^2)*(0.4 s) = - 3.92 m/s

El signo negativo indica el sentido de la velocidad final (hacia abajo). Luego:

El signo negativo muestra que la altura estaba medida desde el borde de la mesa e indica que son 0.784 m hacia abajo.

b) La velocidad en y al principio del tiro semiparabólico es igual a cero, pero la velocidad no, debido a que tiene una componente en x, que es igual a la velocidad con la que llega al borde de la mesa y se cae de ella. La velocidad en x no cambia, entonces:

Si d es la distancia horizontal del movimiento:

d = (1.25 m/s)*(0.4 s) = 0.5 m

c) La componente de la velocidad, en x, no cambia; entonces:

Vfx = 1.25 m/s

La componente de la velocidad, en y, se calculó en el literal a) del ejercicio:

Vfy = 3.92 m/s

d) Obtenidas las componentes, podemos encontrar la magnitud Vf de la velocidad final:

y la dirección está dada por:

Note que la magnitud de un vector siempre es positiva. Un vector representa su sentido por medio del signo a partir de un marco de referencia propuesto, pero cuando es una magnitud que se representa, ésta siempre tiene signo positivo.

 

 

Ejemplo. Una persona arroja una pelota a una velocidad de 25.3 m/s y un ángulo de 42º arriba de la horizontal directa hacia una pared como se muestra en la figura. La pared está a 2.18 m del punto de salida de la pelota. a) ¿Cuánto tiempo estará la pelota en el aire antes de que golpee a la pared?; b) ¿A qué distancia arriba del punto de salida golpea la pelota a la pared?; c) ¿Cuáles son las componentes horizontales y verticales de su velocidad cuando golpea a la pared?; d) ¿Ha pasado el punto más elevado de su trayectoria cuando la golpea?

 

 

Este es un movimiento parabólico general; es decir, no es completo ni semiparabólico, pero tiene el comportamiento parabólico característico.

a) Se conoce la distancia recorrida en x. Con la magnitud y dirección del vector de la velocidad inicial se puede encontrar la componente de velocidad en x. Entonces:

Vx = (25.3 m/s) cos (42º) = 18.80 m/s

El tiempo de vuelo está dado por:

b) La distancia que se pide se mide en el eje y. Analizando el movimiento en ese eje, se puede encontrar la velocidad final, en y, antes de golpear la pared:

Voy = (25.3 m/s) sen (42º) = 16.93 m/s

La velocidad final, en y, es:

Vfy = Voy + g*t = (16.93 m/s) + (-9.8 m/s^2)*(1.16 s) = 5.56 m/s

Note que la velocidad final en y es positiva. El sentido de ésa componente indica que la velocidad apunta hacia arriba.

c) Las componentes verticales y horizontales de la velocidad final se calcularon en literales anteriores:

Vfx = 18.80 m/s

Vfy = 5.56 m/s

d) El punto h se puede comparar con el punto más alto del movimiento, tomando como Vfy = 0 m/s:

Como Ymáx > h; entonces la pelota no ha pasado su punto más alto de la trayectoria parabólica. Esto se puede demostrar también con el sentido de la velocidad, debido a que la velocidad, en y, cuando golpea la pared, es positivo. Esto quiere decir que la pelota estaba subiendo cuando golpea la pared; si ésta no estuviera, la pelota siguiera una trayectoria ascendente hasta llegar a la altura máxima.

 

 

MOVIMIENTOCIRCULAR UNIFORME

 

 

Una característica importante del movimiento parabólico es que es una trayectoria curvilínea. Esto se debe a que existe una componente de la aceleración que es perpendicular a la trayectoria. Sin embargo, existe un movimiento en el que la aceleración siempre es perpendicular a la trayectoria, formándola en una "curva uniforme", aún cuando la magnitud de la velocidad sea constante.

Cuando una partícula se mueve en una trayectoria círcular con rapidez constante, tiene un movimiento circular uniforme M.C.U. *. En éste movimiento, no existe una componente de la aceleración que sea paralelaa la trayectoria, de lo contrario, la rapidez cambiaría. Un vehículo recorriendo un redondel con rapidez constante es un ejemplo de M.C.U.

 

 

La aceleración es perpendicular (normal) a la trayectoria. Como la trayectoria es un círculo, la aceleración está dirigida siempre hacia el centro de éste, por lo que comúnmente recibe el nombre de aceleración centrípeta. La velocidad de la partícula en éste movimiento siempre es constante en su magnitud: la rapidez; pero su dirección y sentido, como vector, cambia, debido a que la velocidad siempre es tangente a la trayectoria.

La rapidez de la partícula, la aceleración centrípeta y el radio del círculo se relacionan mediante la ecuación:

donde a es la magnitud de la aceleración centrípeta, v es la rapidez de la partícula y R el radio del círculo.

 

 

También podemos expresar la magnitud de la aceleración centrípeta en términos del período T del movimiento, el tiempo de una revolución (una vuelta completa al círculo) *. La distancia recorrida en una vuelta al círculo es igual al perímetro de éste. Si el perímetro es 2πR, entonces:

 

PROBLEMAS DE APLICACION 

 

Ejemplo. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, un electrón gira alrededor de un protón en una órbita circular de 5.29 x 10^-11 m de radio con una rapidez constante de 2.18 x 10^6 m/s. ¿Cuál es la aceleración del electrón en este modelo del átomo de Bohr?

Se tiene el valor del radio y de la rapidez de la partícula y además la rapidez es constante. Con la relación de M.C.U. se puede encontrar la aceleración:

 

 

Ejemplo. Una partícula P viaja a velocidad constante en un círculo de 3 m de radio y completa una revolución en 20 s (véase la figura). a) encuentre el valor de la aceleración; b) la rapidez con la que viaja.

 

 

a) Los datos dados son el período T y la velocidad de la partícula, con ellos, se puede obtener la aceleración:

 

b La rapidez se encuentra mediante la relación de la aceleración y el radio:

 

Ejemplo. Un astronauta está girando en una centrífuga de 5.2 m de radio. a) ¿Cuál es su velocidad si la aceleración es de 6.8 g?; b)¿Cuántas revoluciones por minuto se requieren para producir ésa aceleración?.

 

a) Se sabe que el valor de g es el de la aceleración de la gravedad (9.8 m/s^2). Entonces:

 

b) El período T se encuentra:

 

Por definición: 1 revolución se da en 1.75 s, entonces:

 

En el movimiento circular general, al inverso del período se le conoce como frecuencia.

donde f es la frecuencia (número de vueltas por unidad de tiempo) y sus unidades son 1/s.

 

 

 

LEYES DE NEWTON

 

En las lecciones anteriores se plantea los temas básicos del estudio de la cinemática: el estudio del movimiento de los cuerpos. Lacinética, que es la que estudia las causas que producen el movimiento, introduce dos nuevos conceptos utilizados para su análisis: fuerza y masa.

La cantidad de materia que un cuerpo posee está determinada por su masa *. Las unidades para ésta propiedad son el Kilogramo (Kg) en el sistema internacional (SI), Libra - masa (lbm), slug en el sistema inglés, y para cantidades atómicas, la masa se mide en umas (uma).

El movimiento de un cuerpo está determinado por las interacciones del cuerpo con su entorno, las cuales se llaman fuerzas *. Estas pueden ser fuerzas de contacto, que implica el contacto directo entre dos cuerpos: una persona empujando una caja o una cadena sosteniendo una planta son ejemplos de éstas fuerzas; o también pueden ser de largo alcance, que actúan aunque los cuerpos están separados: una fuerza entre dos imanes con polos iguales de frente es un ejemplo de éstos.

 

Las unidades de la fuerza son: el Newton (N) en el sistema internacional, la dina y libras - fuerza (lbf) para el sistema inglés.

 

La fuerza es una cantidad vectorial. Si un cuerpo está afectado por varias fuerzas, éstas se pueden sustituir por una fuerza equivalente, igual a la combinación por suma vectorial de todas ellas, utilizando los diferentes métodos para sumar vectores. Ésta fuerza coúnmente es llamada fuerza neta.

 

 

Una fuerza de largo alcance de uso común en el estudio de la cinética es el peso de los cuerpos, que es una fuerza que ejerce la tierra con los cuerpos, en función de su cantidad de materia (masa) y de la distancia que separa el cuerpo con la superficie terrestre.

 

Primera Ley de Newton.

 

Si la suma vectorial de las fuerzas, es decir, la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a cero,entonces no existe algún agente externo que altere el movimiento de dicho cuerpo. Ésta es la idea principal que se plantea en el enunciado de ésta ley:

 

Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y cero aceleración **.

 

La tendencia de un cuerpo a seguir moviéndose una vez puesto en movimiento resulta de una propiedad llamada inercia *. Ésta ley es conocida como la ley de la inercia, y también explica el estado deequilibrio de un cuerpo: si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o actúan varias fuerzas cuya suma vectorial es cero, entonces el cuerpo está en equilibrio *. Se debe cumplir que: ∑F = 0.

 

 

Para analizar un cuerpo en su estado de equilibrio, se debe hacer a partir de un marco de referencia inercial, definidos asi los que están en un punto en equilibrio con respecto al cuerpo en análisis. La tierra es aproximadamente un marco de referencia inercial (despreciando los movimientos mínimos que tiene con relación a su eje), pero un vehículo acelerando constantemente no lo es, debido a que su velocidad cambia.

 

 

Segunda Ley de Newton.

 

En la primera ley se describe el estado en el que un cuerpo no siente alguna fuerza externa. Pero, cuando existe una fuerza externa actuando o varias fuerzas cuya resultante es distinta de cero, el movimiento del cuerpo tiende a cambiar su movimiento. En la segunda ley del movimiento se describe que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración del cuerpo: ∑F α a.

La constante de proporcionalidad para ésta relación es la masa, debido a que la masa es inversamente proporcional a la aceleración del cuerpo de masa m: m α 1/a.

Dadas éstas relaciones, se plantea la siguiente ley:

 

Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, éste se acelera. La dirección y el sentido de la aceleración es la misma que la de la fuerza neta. El vector fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración **.

 

Note que también se plantea la dirección y el sentido de la fuerza neta. Como la masa es una cantidad escalar y siempre es positiva, la aceleración tiene el mismo signo que el de la fuerza neta.

 

El peso es la fuerza ejercida por el campo gravitacional, que provoca que un cuerpo de masa m tenga una aceleración igual al valor de la gravedad. Entonces, se define el peso w de un cuerpo como:

w = m*g (una fuerza dirigida siempre hacia abajo).

 

 

Tercera Ley de Newton.

 

Una fuerza de contacto es una interacción entre dos cuerpos. Entonces, los dos cuerpos sufren la misma fuerza entre si, pero en diferente sentido desde un mismo marco de referencia. Por ejemplo, si una persona patea un balón de fútbol con una fuerza F, el balón ejerce una fuerza de igual magnitud, pero en dirección a la persona: -F, sobre el pié de la persona. Éstas dos fuerzas son conocidas como el par de fuerzas acción - reacción, y forman el enunciado de la tercera ley de movimiento:

 

Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una "acción"), entonces B ejerce una fuerza sobre A (una "reacción). Éstas fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre diferentes cuerpos **.

 

Matemáticamente se define como:

 

Donde el signo define el sentido contrario de ambas fuerzas. La dirección de ambas fuerzas difieren en una cantidad de 180º; es decir, los dos vectores fuerza tienen la misma inclinación, pero sentidos opuestos.

 

 

 

 

Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo u objeto en particular *. Consiste en colocar la partícula en el origen de un plano de coordenadas, y representar a las fuerzas que actúan sobre ella por medio de los vectores correspondientes, todos concurrentes en el origen.

La mayor aplicación de los DCL es visualizar mejor el sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo; además, se identifican mejor las fuerzas pares, como la de acción - reacción y las componentes de las fuerzas. Si en un sistema existen dos o más cuerpos de interés, éstos se deben separar y cada uno tiene un DCL propio con sus respectivas fuerzas actuando.

 

Ejemplo. Construya el DCL para el siguiente sistema:

 

 

La partícula de interés para éste caso es el bloque de masa m, pero para el caso, las fuerzas concurren en un mismo punto, el nodo que une las tres cuerdas de la figura. Entonces, el origen de coordenadas se situará en ése punto. Las fuerzas que actúan son: la tensión de la cuerda A (Ta), la tensión de la cuerda B (Tb) y el peso w del bloque de masa m.

 

 

En algunos casos, es conveniente girar el eje de coordenadas. Esto normalmente se hace cuando la partícula tiene un movimiento sobre una superficie inclinada, y se facilita el cálculo de las componentes si los ejes tienen la misma dirección de la superficie.

 

 

Ejemplo. Construya el DCL para el bloque de masa M de la figura:

 

 

El bloque de masa M tiene un movimiento sobre un plano inclinado. Para el caso, el DCL será mejor manipulado si se inclinan los ejes. Las fuerzas que actúan son tres. Dos de ellas son el peso w del bloque, siempre dirigido hacia abajo y la tensión de la cuerda con la que el autobus hala el bloque.

La tercera fuerza es debida a la tercera ley de Newton: el bloque ejerce una fuerza sobre el plano que la sostiene, asi como el plano hace una fuerza sobre el bloque, pero en dirección contraria. Ésta fuerza se llama fuerza normal N, debido a que es perpendicular (normal) a la superficie del plano. Se representan éstas tres fuerzas en el DCL del bloque M:

 

 

¿Cómo construir un diagrama de cuerpo libre?

 

1. Identifique las condiciones del problema. Asegúrese de colocar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de análisis. Éstas fuerzas deben tener las direcciones (ángulos) y sentidos correctos.

2. Si son varios cuerpos de estudio, sepárelos. Cada uno tiene su propio DCL. Si el sistema es de dos cuerpos y aparece una fuerza entre ellas, no olvide colocar las de acción y reacción en su respectivo DCL.

3. Las fuerzas se representan como vectores con su origen situado al centro de un sistema de coordenadas rectangulares. Generalmente es el plano cartesiano, aunque puede estar inclinado.

 

 

La aplicación más importante de la primera ley de Newton es encontrar el valor de fuerzas que actúan sobre una partícula, a partir de la condición de equilibrio. En la primera ley, se plantea que si una partícula está en equilibrio, se cumple que: ∑F = 0. Como la fuerza es una cantidad vectorial, podemos plantear que:

∑Fx = 0 y ∑Fy = 0 (Componentes rectangulares de las fuerzas).

 

Ejemplo. Un cuadro de 2 Kg se cuelga de un clavo como se muestra en la figura, de manera que las cuerdas que lo sostienen forman un ángulo de 60º. ¿Cuál es la tensión en cada segmento de la cuerda?

 

 

Se debe determinar la situación del problema. Una cuerda sostiene un cuadro de 2 Kg, en dos segmentos, cada segmento tiene una tensión Ta y Tb respectivamente, como se ilustra en el DCL.

 

 

De las tres fuerzas planteadas, sólamente se puede determinar el valor de su peso w.

∑Fy = 0 = Ta sen 60º + Tb sen 60º - w;

Ta sen 60º + Tb sen 60º = w = mg (1)

 

Luego, ∑Fx = 0 = - Ta cos 60º + Tb cos 60º

Ta cos 60º = Tb cos 60º, entonces Ta = Tb (2)

 

Sustituyendo (2) en (1):

2 Tb sen 60º = mg

 

Despejando Tb:

 

Como se demuestra en la ecuación (2), las tensiones en los segmentos de cuerda son iguales. Es importante colocar el sentido de cada componente, según el marco de referencia propuesto.

 

 

 

 

Ejemplo. Calcule la tensión en cada cordel de la figura, si el peso del objeto suspendido es de 10 N.

 

 

Este ejemplo es muy parecido al anterior, con la diferencia que las cuerdas son distintas y no necesariamente las tensiones son iguales:

 

∑Fy = 0 = Ta sen 30º + Tb sen 45º - w

Ta sen 30º + Tb sen 45º = w (1)

 

∑Fx = 0 = - Ta cos 30º + Tb cos 45º = 0

Ta cos 30º = Tb cos 45º

Despejando Ta:

 

Sustituyendo (2) en (1):

 

Por identidad trigonométrica:

Tb (cos 45º * tan 30º)`+ Tb sen 45º = w

 

Factor común, y despejando Tb:

 

Sustituyendo éste valor en (2):

Ta = (9 N) (cos 45º/cos 30º) = 7.35 N.

 

 

Ésta ley centra su aplicación en la dinámica de partículas, en los que se analizan cuerpos con aceleración. En éste caso, la fuerza neta que actúa sobre una partícula no es cero, sino: ∑F = m*a. Al igual que en la primera ley, ésto se puede plantear por medio de las componentes de los vectores:

∑Fx = m*ax y ∑Fy = m*ay

 

Ejemplo. ¿Qué fuerza neta se requiere para impartir a un refrigerador de 125 Kg una aceleración de 1.20 m/s^2?

 

Los datos son la masa y la magnitud de aceleración, y solamente se pide encontrar la magnitud de la fuerza que se le debe aplicar al refrigerador.

Por la 2a ley de Newton:

Fneta = (125 Kg) (1.20 m/s^2) = 150 N

 

Ejemplo. Un carrito de juguete de 3 Kg parte del reposo y se mueve una distancia de 4 m en 2 s bajo la acción de una fuerza constante única. Encuentre la magnitud de la fuerza.

 

 

Se sabe que la fuerza que impulsa al carrito es constante; por lo tanto, su aceleración también lo es. Se pueden aplicar las fórmulas de M.R.U.A. (aceleración constante y movimiento rectilíneo) para encontrar la aceleración del juguete y luego se multiplica por la masa para obtener la magnitud de la fuerza. De la ecuación:

 

Despejamos a. Además Vo = 0 m/s, entonces:

 

y de la 2da. ley:

F = (3 Kg) (2 m/s^2) = 6 N.

 

 

Ejemplo. Una carga de 15 Kg pende de una cuerda que pasa por una polea pequeña sin fricción y tiene un contrapeso de 28 Kg en el otro extremo (véase la figura). El sistema se libera del reposo. Calcule la aceleración hacia arriba de la carga?

 

 

Como son dos cuerpos los que se deben analizar, para cada uno debe hacerse un DCL. Sea el objeto A el peso de 15 Kg y el objeto B el contrapeso de 28 Kg.

 

 

Se tienen diagramas de cuerpo libre casi iguales, con la diferencia de las masas de los objetos. Como se trata de una cuerda que une a los dos pesos, existe una única tensión a lo largo de ella; por lo tanto, las tensiones T en ambos diagramas son las mismas. Por otra parte, si los pesos se mueven, lo hace también la cuerda. Tomando en cuenta que la cuerda es una "cuerda ideal", que es aquella que no se deforma cuando fuerzas se aplican sobre ella, la cuerda se mueve con una aceleración uniforme; por lo tanto, las aceleraciones de los dos pesos son iguales en magnitud, pero ls sentidos son diferentes. Suponga que el objeto B se mueve hacia abajo, por lo tanto, tieneaceleración negativa.

 

Planteado lo anterior se tienen dos ecuaciones:

∑Fa = ma*A, donde A es la aceleración.

T - wa = ma*A

Despejando T:

T = ma*A + ma*g (1).

Para el objeto B, ∑Fb = mb*-A

T = mb*g - mb*A (2)

igualando (1) y (2):

ma*A + ma*g = mb*g - mb*A

Despejando A:

 

Es positiva. Por lo tanto la suposición de que B se mueve hacia abajo es verdadera. Si el resultado hubiese dado negativo, habría que cambiar el sentido supuesto.

 

 

 

A partir de ésta tercera ley del movimiento se definen dos fuerzas de uso común en el estudio de la cinética. La fuerza de contacto entre dos cuerpos siempre puede representarse en términos de la fuerza normal N perpendicular a la superficie de interacción. Generalmente ésta fuerza se utiliza cuando un cuerpo está en contacto con una superficie plana o inclinada, entonces, el vector de la fuerza normal es perpendicular a ésa superficie.

Cuando un cuerpo se desplaza haciendo contacto con una superficie, ésta, por sus propiedades físicas, realiza una fuerza que se opone al movimiento, la cual es conocida como fuerza de fricción Ff. Éstas dos fuerzas tienen una relación que se estudiará en lecciones posteriores.

 

Ejemplo. Dos bloques, con masa m1 = 4.6 Kg y m2 = 3.8 Kg, están unidos por un resorte ligero sobre una mesa horizontal sin fricción. En cierto instante, m2 tiene una aceleración a2 = 2.6 m/s^2. a) ¿Cuál es la fuerza sobre m2?; b) ¿Cuál es la aceleración de m1?.

 

 

a) La única fuerza que actúa sobre m2 en el sentido del movimiento (en el eje x) es la del resorte (haga el DCL para comprobarlo). Por la segunda ley de Newton:

F = m2*a = (3.8 Kg)(2.6 m/s^2) = 9.88 N.

 

b) La única fuerza que actúa en el sentido del movimiento sobre m1 es la del resorte. Pero el resorte hace una fuerza sobre m2 y éste hace una fuerza sobre el resorte, por acción y reacción. Suponiendo que el resorte no se deforma, éste hace una fuerza sobre m1 igual a la fuerza que hace sobre m2. Entonces:

a = F / m1 = 9.88 N / 4.6 Kg = 2.14 m/s^2.

 

 

Ejemplo. Una niña de 40 Kg y un trineo de 8.4 Kg están sobre la superficie de un lago congelado, separados uno del otro por una distancia de 15 m. Por medio de una cuerda , la niña ejerce una fuerza de 5.2 N sobre el trineo, halándolo hacia ella. a) ¿Cuál es la aceleración del trineo?; b) ¿Cuál es la aceleración de la niña?; c) ¿A qué distancia de la posición inicial de la niña se encontrarán, suponiendo que la fuerza permanece constante?.

 

 

La niña ejerce una fuerza, por medio de una cuerda, sobre el trineo. Por la tercera ley del movimiento, el trineo ejerce una fuerza sobre ella de igual magnitud pero sentido contrario.

 

a) Como es un lago congelado, no existe fricción que impida el movimiento. Entonces, la única fuerza que actúa en dirección del movimiento es la de la niña sobre el trineo. Por la segunda ley de Newton:

a(trineo) = F / m(trineo) = - 5.2 N / 8.4 Kg = - 0.62 m/s^2.

 

La fuerza es negativa debido a que la fuerza que recibe el trineo está dirigida hacia el eje x negativo.

 

b) Ésa fuerza que la niña ejerce es la misma, en magnitud, que el trineo ejerce sobre ella, por medio de la cuerda:

a(niña) = F / m(niña) = 5.2 N / 40 Kg = 0.13 m/s^2.

 

c) La fuerza es constante, por lo que las aceleraciones calculadas en a) y en b) son constantes. Se pueden utilizar las fórmulas para M.R.U.A. Tanto la niña como el trineo parten del reposo. Tenemos dos ecuaciones de la posición:

 

Donde xf y xo son las posiciones finales e iniciales respectivamente. Para el trineo:

 

Pero xf (trineo) = xf (niña), debido a que se encuentran en el mismo punto:

 

La niña y el trineo se desplazarán hacia un sólo punto, en el cual se encontrarán. Si ambos parten en el mismo instante, el tiempo en que tardarán en llegar es el mismo para ambos. Entonces t(niña) = t(trineo). Igualando (1) y (2) y despejando el tiempo:

 

El tiempo se sustituye en (1) o en (2):

 

 

 

La fuerza de fricción se da a partir del contacto entre dos cuerpos. En realidad, éste efecto siempre está presente en el movimiento de un cuerpo debido a que siempre se desplaza haciendo contacto con otro (el aire en la mayoría de los casos); en algunos casos, éste efecto es muy pequeño y es una buena aproximación despreciar su valor, pero en otros, es necesario tomar en cuenta ésta fuerza, debido a que determina el valor del movimiento.

 

 

Fricción cinética.

Cuando un cuerpo descansa sobre una superficie, podemos expresar la fuerza de contacto (por tercera ley del movimiento) en términos de sus componentes paralela y perpendicular a la superficie: la componente perpendicular es la fuerza normal N y la paralela a la superficie es la de fricción Ff. La dirección de Ff siempre es opuesta al movimiento relativo de las dos superficies.

El tipo de fricción que actúa cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie es la fuerza de fricción cinética, Ffk (*). Ésta fuerza es proporcional a la normal: Ffk α N.

La constante de proporcionalidad para la relación anterior recibe el nombre de coneficiente de fricción cinética µk y su valor depende de la superficie: mientras mas lisa (como el lago congelado del ejemplo de la lección anterior) es la superficie, menor será el valor de la constante. Entonces, la fuerza de fricción cinética se define como:

Ffk = µk * N

 

Ésta es una ecuación escalar y válida solo para las magnitudes de las componentes de la fuerza de contacto.

 

La fuerza de fricción también puede actuar cuando no hay movimiento. En éste caso recibe el nombre de fuerza de fricción estática Ffs. Suponga que una persona empuja una caja sobre el piso tratando de moverla, pero no lo consigue, debido a que el piso ejerce una fuerza Ffs. Ésta fuerza también es proporcional a la normal y la constante de proporcionalidad se conoce comocoeficiente de fricción estática µs. En algún punto, Ff es mayor que µs*N, que es cuando hay movimiento y Ff es Ffk = µk * N. Pero, mientras no exista movimiento, Ff es:

Ffs ≤ µs * N.

 

Es decir, Ffs está entre 0 y (µs * N).

 

 

En la vida cotidiana, el término trabajo se relaciona con cualquier actividad que requiere algún tipo de esfuerzo físico o mental. En la mecánica y estudio de la cinética, éstos esfuerzos son fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo desplazándolo cierta distanciadesde su punto inicial; por lo tanto, siempre que una fuerza actúa a lo largo de una distancia, sobre una partícula, se realiza trabajo*. Su valor se relaciona con el valor de la fuerza aplicada y eldesplazamiento causado por la fuerza.

Considere las siguientes figuras. Ignore el efecto de la fricción en la superficie plana. La fuerza Fa está aplicada verticalmente sobre el objeto; pero ésta fuerza no logra desplazar al objeto por el eje x, debido a que la fuerza resultante no tiene componente en ése eje, y por la segunda ley del movimiento, éste objeto no tiene aceleración en ésa dirección.

 

La fuerza Fb logra desplazar cierta distancia al objeto por la superficie plana, debido a que tiene una componente paralela al movimiento, y el objeto obtiene una componente en x de la aceleración.

 

 

La fuerza Fc desplaza al objeto cierta distancia d, mayor al de la fuerza Fb, debido a que la fuerza está totalmente en dirección al desplazamiento.

 

Por lo anterior, el trabajo mecánico W es realizado por la componente paralela al desplazamiento d de la fuerza que lo realiza, y se define como:

W = F*d.

Donde F es la fuerza paralela al desplazamiento que realiza trabajo. El trabajo total realizado sobre una partícula es el producto de la fuerza resultante por el valor del desplazamiento d.

 

La expresión anterior que define el trabajo W es un producto escalar, y sólo interesa la magnitud y sentido de F y d. Es decir, a partir de un marco de referencia propuesto, se puede obtener un trabajo negativo si la fuerza está dirigida en sentido contrario al desplazamiento, como una fuerza de fricción de la superficie.

El trabajo W tiene unidades de N.m. en el sistema internacional (Newton - metro), lbf - pulgada en el sistema inglés. En el sistema internacional de medidas, un N.m es un Joule, representado por J,que son las unidades que definen la energía, concepto que se define en las siguientes lecciones.

 

 

Ejemplo. Se empuja un libro 1.20 m sobre una mesa horizontal con una fuerza horizontal de 3.0 N. La fuerza de fricción opuesta es de 0.6 N. a) ¿Qué trabajo efectúa la fuerza de 3.0 N?; b) ¿Y la fricción?;c) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre el libro?

 

a) La fuerza de 3 N está en dirección al desplazamiento. Entonces:

W = (3.0 N)*(1.20 m) = 3.6 N.m = 3.6 J

b) La fricción también está dirigida hacia el eje x, pero con sentido contrario:

Wf = (- 0.6 N)*(1.20 m) = - 0.72 J

c) El trabajo total está dado por la componente de la fuerza resultante en dirección al movimiento. Las fuerzas que actúan en dirección al movimiento son la de 3.0 N y la fricción:

∑Fx = 3.0 N + (- 0.6 N) = 2.4 N y

Wt = (2.4 N)*(1.2 m) = 2.88 J.

donde Wt es el trabajo total efectuado. Éste resultado es el mismo si se suman los trabajos individuales de cada fuerza que actúa sobre el cuerpo:

Wt = W + Wf = 3.6 J + (- 0.72 J) = 2.88 J

 

 

Ejemplo. El baúl de la figura es arrastrado en una distancia horizontal de 24 m por una cuerda que forma un ángulo de 60º con el piso. Si la tensión en la cuerda es de 8 N, ¿Cuál es el trabajo realizado por la cuerda?

 

La fuerza no está en dirección al desplazamiento, pero tiene una componente paralela a él, que es igual a:

F = (8 N) cos 60º

Y el trabajo es igual a:

W = F*d = ((8 N) cos 60º )*(24 m) = 96 J

 

 

La importancia del concepto de energía surge del principio de conservación de la energía: la energía se puede convertir de una forma a otra pero no puede crearse ni destruirse *. Por ejemplo, un horno microondas recibe energía electromagnética para convertirla en energía térmica en los alimentos, aumentando su temperatura, por lo tanto, no hay una pérdida de energía en éste proceso.

Por ello, la energía se relaciona por la capacidad que tiene la materia para realizar cambios, a partir de un estado de referencia. Existen muchos tipos de energía, que están asociados con diferentes propiedades de la materia. Sin embargo, en cinética, se estudia la energía mecánica, es decir, la energía asociada con las propiedades que determinan el movimiento.

Una de ellas, es la energía cinética, que es la energía asociada con la rapidez de una partícula. Como la energía se define a partir de un estado de referencia, la energía cinética es cero cuando la partícula no tiene rapidez, es decir, está en reposo.

 

La energía cinética, denotada por K y medida en Joules (J), se define como:

donde m es la masa de la partícula (Kg) y v es su rapidez (m/s).

El concepto de energía se relaciona con el cambio de un estado. Por ello, en el estudio de la energía a veces interesa saber el cambio de energía. El símbolo ∆ (delta) indica un cambio en la propiedad a la que acompaña.

Suponga que en un estado 1, una partícula tiene una energía cinéticaK(1), y que en el estado 2 tiene una energía cinética K(2). El cambio de energía cinética de ésta partícula, medido en Joules (J) para los estados 1 y 2 es:

 

El trabajo, por sus unidades, es una forma de transferencia o cambio en la energía: cambia la posición de una partícula (la partícula se mueve). Éste cambio en la energía se mide a partir de todos los efectos que la partícula sufre, para el trabajo, los efectos son todas las fuerzas que se aplican sobre ella (trabajo neto o trabajo totalWt).

El teorema del trabajo y la energía relaciona éstos dos conceptos:

El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula *:

W = ∆K = K(2) - K(1)

Éste teorema facilita muchos cálculos de problemas que involucran éstas propiedades.

 

Ejemplo. Una bala de 20 g choca contra un banco de fango, como se muestra en la figura, y penetra una distancia de 6 cm antes de detenerse. Calcule la fuerza de frenado F, si la velocidad de entrada fue de 80 m/s.

 

Se tienen como datos la rapidez inicial y la rapidez final, además de la masa de la bala como la cantidad desplazada mientras se le aplica la fuerza. Por el teorema del trabajo y la energía se puede encontrar el valor de esa fuerza:

 

La rapidez v(2) es el estado final (0 m/s), y la rapidez v(1) es el estado inicial antes de entrar al banco de fango (80 m/s). La masa de la bala es 20 g = 0.02 Kg. Entonces:

 

Ésto es igual al trabajo neto efectuado por todas las fuerzas. En éste caso, la única fuerza que actúa es la que detiene a la bala (la fricción del fluído viscoso):

W = F*d = ∆K = - 64 J

 

Con d = 6 cm = 0.06 m:

F = - 64 J / 0.06 m = - 1066.67 N

 

Note que el signo negativo indica que la fuerza tiene sentido opuesto al desplazamiento (como en la definición de trabajo).

 

 

Ejemplo. Un trabajador empuja una caja por el piso. La fuerza que ejerce forma un ángulo de 30º con la horizontal, como se muestra en la figura. La masa de la caja es de 100 Kg y el coeficiente de fricción cinética entre ella y el piso es de 0.6. Una vez en movimiento, la caja se mueve con rapidez constante. a) ¿Cuánto trabajo debe efectuar el trabajador para moverla 100 m?; b) ¿Cuánto es el trabajo neto sobre la caja?

 

a) El trabajo efectuado por el trabajador es igual a:

W = (F cos 30º)*d

Pero no se conoce el valor de F:

 

∑Fx = 0 (Debido a que la partícula está en equilibrio, rapidez constante).

- Ff + F cos 30º = 0

F = Ff / cos 30º (1)

 

Luego: ∑Fy = 0

N - w - F sen 30º = 0

F = (N - w) / sen 30º (2)

 

Igualando (1) y (2):

Ff / cos 30º = (N - w) / sen 30º

 

Pero Ff = µk * N, y recordando que (sen 30º / cos 30º) = tan 30º:

(µk * N) tan 30º = N - w

 

Despejando N:

 

Sustituyendo éste valor en (2):

 

Y el trabajo es:

W = ((1040 N) cos 30º)*(100 m) = 90,066.65 J

 

b) El trabajo neto es:

Wt = W + Wf

Donde Wf es el trabajo realizado por la fricción. Pero por el teorema del trabajo y la energía:

Wt = ∆K = 0

 

debido a que no hay cambio en la energía cinética (no hay cambio en la rapidez de la partícula, es constante, y K(1) = K(2))

Éste resultado se puede demostrar encontrando el trabajo realizado por la fricción y sumar ése valor al trabajo efectuado por la fuerza F.

 

En varias situaciones parece que se almacena enegía en un cuerpo para recuperarse después. Por ejemplo, una persona levanta un libro de masa m. La persona debe aplicar una fuerza mayor al peso m*g del libro para levantarlo, y por lo tanto, realizar trabajo sobre él.Pero si el libro se deja caer desde la altura llevada, el libro aumenta su energía cinética aumentando su rapidez en la caida. Si la persona levanta el libro más alto, al dejarse caer, el libro obtiene mayor rapidez cuando llega al piso (debido a la aceleración de la gravedad).

Lo anterior da una idea que si un cuerpo o partícula está en unaposición más alta, tiene una mayor cantidad de energía almacenada. Así se define la energía potencial, como la energía asociada a la posición de una partícula, y es una medida del potencial o posibilidadde efectuar trabajo *.

Una forma de energía potencial es la que está asociada con el campo gravitacional, que hace efecto en los cuerpos por medio de su peso.Ésta es la energía potencial gravitatoria Ug, que relaciona el peso de un cuerpo y su altura sobre el suelo.

Para encontrar su valor, considere un cuerpo de masa m que está en reposo a una altura h(1), como se muestra en la figura. La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso w = m*g. Entonces, el trabajo neto sobre ella es:

Wg = m*g*d.

Donde d es la distancia en la que se aplica la fuerza.

 

 

Si el objeto se deja caer hasta la altura h(2), entonces d = h(1) - h(2):

Wg = m*g*(h(1) - h(2))

 

La energía potencial gravitatoria Ug se define como el producto de la masa por la aceleración de la gravedad por la altura h:

Ug = m*g*h

 

Entonces el trabajo es:

Wg = m*g*h(1) - m*g*h(2) = Ug(1) - Ug(2)

 

Si ∆Ug = Ug(2) - Ug(1):

Wg = - ∆Ug

 

Ésta relación sólo es válida para el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad.

 

 

 

Para resolver problemas que involucran el valor de la energía potencial gravitatoria se debe tener en cuenta el marco de referencia, y definir los valores de energía para ése marco, debido a que la energía es medida a partir de un punto de referencia arbitrario. En la mayoría de los casos, éste punto de referencia es el piso o superficie plana cercana.

 

Ejemplo. ¿Qué energía potencial tiene un ascensor de 800 Kg en la parte superior de un edificio, a 380 m sobre el suelo? Suponga que la energía potencial en el suelo es 0.

 

Se tiene el valor de la altura y la masa del ascensor. De la definición de la energía potencial gravitatoria:

Ug = (800 Kg)*(9.8 m/s^2)*(380 m) = 2,979,200 J = 2.9 MJ

 

Ejemplo. Un horno de microondas de 12 Kg se empuja para subirlo 14 m de una superficie de una rampa inclinada 37º sobre la horizontal aplicando una fuerza constante de 120 N y paralela a la rampa. El coeficiente de fricción cinética entre el horno y la rampa es de 0.25. a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza sobre el horno?; b) ¿Y la fuerza de fricción?; c) Calcule el aumento de energía potencial del horno.

 

 

a) El trabajo de la fuerza está dado por el producto de la magnitud de la fuerza por la distancia desplazada:

W = (120 N) (14 m) = 1680 J

 

b) El valor de la fuerza de fricción no es un dato dado del problema. Para determinarlo, se debe hacer un DCL:

 

A partir de éste nuevo marco de referencia:

∑Fy = 0 (Debido a que no hay desplazamiento en éste eje).

N - w cos 37º = 0

N = w cos 37º = m * g * cos 37º.

La fuerza de fricción es µk*N, entonces:

Wf = Ff * d = µk * N * d

Sustituyendo:

Wf = µk * m * g * cos 37º * d

Wf = (0.25) (12 Kg) (9.8 m/s^2) (14 m) (cos 37º) = 328.72 J

 

c) El aumento de energía potencial está dado por:

∆Ug = U(2) - U(1) = m*g*h(2) - m*g*h(1)

Si h(1) = 0 y h(2) = h:

∆Ug = m*g*h

Por trigonometría, sabemos que h = d * sen 37º:

∆Ug = m*g*d*sen37º

∆Ug = (12 Kg) (9.8 m/s^2) (14 m) (sen 37º) = 990.83 J

 

Note que los maros de referencia para b) y c) son distintos: cuando se trabaja con energía potencial, sólo interesa datos de altura. Para el caso de un movimiento vertical con trayectoria curvilínea (movimiento de proyectil, por ejemplo), se debe encontrar la proyección del movimiento en el eje vertical para definir la diferencia de alturas.

 

Un cuerpo elástico es aquel cuerpo deformable que recupera su forma y tamaño originales después de deformarse *. La deformación de éstos cuerpos es causada por una fuerza externa que actúa sobre ellos.

Para definir la energía potencial elástica se introduce el concepto de un resorte ideal, que es aquel que se comporta como un cuerpo elástico, ejerciendo una fuerza en su proceso de deformación. Cuando un resorte ideal está estirado cierta longitud x (m), éste quiere volver a su longitud y forma original; es decir, cuando no está estirado. Para intentar lograrlo, el resorte ejerce una fuerza Fe definida por:

Fe = k*x

Donde k es la constante de fuerza del resorte, medido en N/m, y x es la deformación del resorte, medido en m.

 

 

Cuando un cuerpo llega con una rapidez v, como se muestra en la figura anterior, el resorte se deforma y detiene al cuerpo; pero luego, cuando el resorte quiere volver a su longitud original, "empuja" al cuerpo dándole la misma rapidez v anterior. Ésta y otras situaciones describen que el resorte "almacena energía", convirtiéndola en energía cinética (el cuerpo sale con la misma rapidez de entrada al resorte).

En realidad, el resorte realiza trabajo, debido a que desplaza al cuerpo aplicándole una fuerza por una distancia d. Ésta distancia coincide con la deformación del resorte x. Entonces, el trabajo efectuado por el resorte es:

Donde k es la constante de fuerza del resorte. Pero cuando un cuerpo deforma al resorte aplicándole una fuerza, se realiza trabajosobre él, y esa fuerza es igual a la fuerza del resorte Fe = kx (tercera ley del movimiento). Éste trabajo efectuado sobre el resorte esnegativo, debido a que la fuerza tiene dirección contraria a la deformación del resorte.

 

La energía potencial elástica Uel se define de igual manera que la energía potencial elástica: a partir del trabajo realizado por la fuerza presente. Entonces:

Suponga que entre la deformación x, existen dos puntos x(1) Y x(2), como se muestra en la figura siguiente. El resorte está inicialmente deformado.

El trabajo realizado sobre el bloque (trabajo hecho por el resorte) de x(1) a x(2) es:

El cambio de energía potencial elástica ∆Uel = U(2) - U(1); de x(1) a x(2) es igual a:

Que es una relación muy parecida a la del trabajo realizado por el peso de un cuerpo y su energía potencial gravitatoria.

 

 

Ejemplo. Una fuerza de 540 N estira cierto resorte una distancia de 0.150 m ¿Qué energía potencial tiene el resorte cuando una masa de 60 Kg cuelga verticalmente de él?

 

Para conocer la energía potencial elástica almacenada en el resorte, se debe conocer la constante de fuerza del resorte y su deformación causada por el peso de la masa de 60 Kg.

Una fuerza de 540 N estira el resorte hasta 0.150 m. La constante de fuerza es:

k = Fe / x = 540 N / 0.150 m = 3600 N / m.

 

Luego, la deformación x del resorte causada por el peso del bloque es:

x = Fe / k = (m*g) / k

x = ((60 Kg)*(9.8 m/s^2)) / (3600 N/m) = 0.163 m

 

La energía potencial elástica almacenada en el resorte es:

Uel = 1/2 * (3600 N/m) * (0.163 m)^2 = 47.82 J

 

Ejemplo. Un resorte tiene una constante de fuerza k = 1200 N/m,¿Cuánto debe estirarse el resorte para almacenar en él 80 J de energía potencial?

 

Se tiene el valor de la energía potencial elástica y la constante de fuerza del resorte. De la ecuación de energía potencial:

 

 

Para el caso de la fuerza aplicada por un resorte y la fuerza ejercida por la gravedad, las fuerzas permiten "almacenar energía", siendo ésta la energía potencial asociada al trabajo realizado por éstas fuerzas. Ésta energía potencial permite convertirse en energía cinética después; por ejemplo, cuando un resorte empuja a un cuerpo para volver a su longitud natural, o cuando un cuerpo se deja caer desde lo alto, perdiendo así energía potencial pero ganando rapidez.

Las fuerzas que permiten ésta conversión de energía potencial a energía cinética son llamadas fuerzas conservativas *. Es decir, se puede invertir energía pero se puede recuperar después.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene éstas propiedades**:

1. Siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una función de energía potencial.

2. Es reversible.

3. Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende sólo de los puntos inicial y final.

4. Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero.

Si las únicas fuerzas que realizan trabajo son conservativas, laenergía mecánica total E = K + U es constante.

Pero no todas las fuerzas son conservativas. Por ejemplo, la fuerza de fricción que actúa sobre un cuerpo siempre se opone al movimiento, y como W = F*d, la fuerza de fricción siempre es negativa en éste producto; por lo tanto, el trabajo no es reversible.

Éste tipo de fuerzas son conocidas como fuerzas no conservativas ofuerzas disipativas *, y si una de ellas realiza trabajo, se debe tomar en cuenta en la energía mecánica total E.

La ley de la conservación de la energía dice que la energía nunca se crea ni se destruye, sólo cambia de forma. Considerando para el estudio de la cinética que sólo se toman en cuenta las energías mecánicas, entonces:

∆K + ∆Ug + ∆Uel + Wfn = 0

Donde Wfn es el trabajo realizado por las fuerzas disipativas. En la mayoría de casos aplicados a la cinética, éstas fuerzas son las de fricción ejercida por los cuerpos (fricción cinética, resistencia del aire, etc).

En algunos casos, Wfn se considera como una pérdida de energía, debido a que se realiza un trabajo opuesto al movimiento de una partícula (trabajo negativo).

 

Una forma diferente de plantear la ecuación de la ley de la conservación de la energía es:

K(1) + Ug(1) + Uel(1) = K(2) + Ug(2) + Uel(2) + Wf

Donde Wf es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas de ése movimiento.

Para resolver problemas de aplicación es necesario definir los estados 1 y 2 para utilizar la ecuación anterior y determinar los valores de la rapidez, la posición o la deformación del resorte ideal en ése estado.

 

Ejemplo. Un bloque de 2 Kg situado sobre una pendiente rugosa se conecta a un resorte de masa despreciable que tiene una constante de resorte de 100 N/m (véase la figura). El bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no está deformado, y la polea no presenta fricción. El bloque se mueve 20 cm hacia abajo de la pendiente antes de detenerse. Encuentre el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente.

 

El sistema muestra que el bloque está ligado a un resorte, por lo que hay una Uel asociada; el bloque tiene una elevación por encima del suelo en algún estado, por lo que hay una Ug asociada; el sistema se mueve, K tiene un valor y finalmente el bloque se desplaza por un plano inclinado riguso, con un valor de fricción entre ellos.

Si el estado 1 es cuando el bloque está en reposo antes de soltarse, y si el estado 2 es cuando el bloque se detiene 20 cm después; entonces la ecuación:

K(1) + Ug(1) + Uel(1) = K(2) + Ug(2) + Uel(2) + Wf

Se reduce a:

Ug(1) = Uel(2) + Wf

 

Debido a que:

En el estado 1, el cuerpo está en reposo y no tiene rapidez, entonces K(1) = 0, el resorte está sin estirarse, y Uel = 0.

En el estado 2, el cuerpo se detiene cuando cae y no tiene rapidez, entonces K(2) = 0, según el marco de referencia, el cuerpo llega a una altura igual a cero, y Ug = 0.

Sustituyendo los valores de la ecuación anterior:

Donde Ff = µk*N.

 

De la ecuación anterior, se tienen los valores de m, g, k, x (la deformación del resorte tiene el mismo valor de la distancia desplazada por el bloque, es decir, x = d) y d. El valor de h se encuentra por trigonometría:

h = (20 cm) sen 37º = 12.03 cm = 0.12 m

 

El valor de la fuerza normal se encuentra por DCL:

 

∑Fy' = 0 (No hay movimiento en ése eje).

N - mg cos 37º = 0

La fuerza normal es:

N = mg cos 37º

 

Sustituyendo ésos valores en la ecuación de la conservación de la energía, se tiene:

 

Despejando µk:

 

Recuerde que el valor de µk es adimensional.

 

 

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

 

1. Un científico explora una cueva. sigue un pasadizo de 210 m al oeste, luego desciende 4m, luego sigue 180 m 45º al este del norte, luego 110 m 60º al sur y tras un último desplazamiento retorna al origen. 
   a) Determine la longitud del último trecho; 
   b) Determine las componentes vectoriales del último trecho; 
   c) ¿Cuál es el ángulo que forma con el plano horizontal?
   
   R/ a) 39.41 m; b) Componente en x: - 27.72 m; componente en y: 28.02 m
   c) 134.69º
   
   
   
   
2. El vector A posee un módulo de 2,80 cm, y está 60º sobre el eje x en el primer cuadrante. El vector B posee un módulo de 1.90 cm y está 60º abajo del eje x en el cuarto cuadrante. Obtenga las componentes vectoriales de: a) A + B; b) A - B
   
   R/ a) Componente en x: 0.45 cm; componente en y: 0.77 cm
   b) Componente en x: 2.35 cm; componente en y: 4.07 cm
   
   
   
   
3. Una mujer camina 4 km hacia el este y después camina 8 km hacia el norte. 
   a) Aplique el método del polígono para hallar su desplazamiento resulante; b) Compruebe el resultado con el método del paralelogramo.
   
   R/ 8.94 km, 63.4º
   
   
   
   
4. Un agrimensor inicia su tarea en la esquina sudeste de una parcela y registra los siguientes desplazamientos: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S; y D = 100 m; E. ¿Cuál es el desplazamiento neto desde el punto de partida?
   
   R/ 500 m, 126.9º
   
   
   
   
5. Dos fuerzas actúan sobre el automóvil ilustrado en la figura. La fuerza A es igual a 120 N, hacia el oeste, y la fuerza B es igual a 200 N a 60º NO.¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el automóvil?.
   
   
   
   R/ 280 N, 38.2º NO. 

 

 

1. Un avión militar vuela horizontalmente con una rapidez de 120 m/s y accidentalmente suelta una bomba (por suerte, no armada) a una altitud de 2000 m. Puede ignorarse la resistencia del aire. 
   a) ¿Cuánto tiempo tarda la bomba en llegar a la tierra?
   b) ¿Qué distancia horizontal viaja mientras cae?
   c) Obtentga las componentes horizontal y vertical de su velocidad justo antes de tocar tierra.
   
   R/ a) 20.2 s; b) 2424 m; c) Vx = 120 m/s, Vfy = 197.96 m/s
   
   
   
   
2. Una pelota que rueda cae del borde de una mesa a 1.00 m sobre el suelo y toca el piso a 2.80 m horizontalmente desde el borde de la mesa. Puede ignorar la resistencia del aire.
   a) Calcule el tiempo de vuelo.
   b) Calcule la magnitud de la velocidad inicial.
   c) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de la bola justo antes de tocar el piso.
   
   R/ a) 0.45 s; b) 6.2 m/s; Vf = 7.62 m/s, en un ángulo de 35.5º abajo de la horizontal.
   
   
   
   
3. Un niño hace girar a una piedra en un círculo horizontal situado a 1.9 m sobre el suelo por medio de una cuerda de 1.4 m de longitud. La cuerda se rompe, y la piedra sale disparada horizontalmente, golpeando el suelo a 11 m de distancia. ¿Cuál fué la aceleración centrípeta de la piedra mientras estaba en movimiento circular?
   
   R/ 224.79 m/s^2.
   
   
   
   
4. Dos esferas idénticas de masa m = 10 Kg, están colgadas con cuerdas de longitud L = 1.0 m de dos puntos separados una distancia 1/2 * L (véase la figura). Las esferas están unidas por una cuerda de longitud 1/4 * L. Calcule la tensión en cada una de las tres cuerdas.
   
   
   
   R/ T(1) = 98.9 N en las líneas largas; T(2) = 12.36 N en la linea corta.
   
   
   
   
5. Un elevador y su carga tienen una masa combinada de 1600 Kg. Halle la tensión en el cable de sustentación cuando el elevador, que originalmente se mueve hacia abajo a razón de 12 m/s, es traído al reposo con aceleración constante en una distancia de 42 m.
   
   R/ T = 18400 N. 
   

 

1. Un bloque de masa m = 2 Kg se mueve a lo largo de una superficie horizontal bajo la influencia de las fuerzas que se muestran en la figura. Asumiendo que el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es de 0.20,
   a) Determine la normal sobre el bloque por la superficie;
   b) Determine la magnitud de la fricción actuando sobre el bloque;
   c) Encuentre la aceleración del bloque.
   
   
   
   R/ a) 24 N; b) 4.8 N; c) 3.6 m/s^2.
   
   
   
   
2. Una lancha tira de un esquiador por medio de una cuerda horizontal. El deportista esquía hacia un lado, hasta que la cuerda forma un ángulo con la dirección opuesta del movimiento de θ = 15º y luego sigue en línea recta. La tensión en la cuerda es de 160 N, ¿Cuánto trabajo realiza la cuerda sobre el esquiador durante 250 m?
   
   R/ 38640 J.
   
   
   
   
3. Un trineo de 9 Kg se mueve en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción. En cierto punto, su rapidez es de 4 m/s; 3 m más adelante es de 6 m/s. Calcule la fuerza que actúa sobre el trineo, suponiendo que es constante y que actúa en dirección del movimiento, primero por Leyes de Newton y cinemática, luego aplicando el teorema del trabajo y energía. 
   
   R/ 30 N.
   
   
   
   
4. La figura siguiente muestra dos masas que están conectadas entre sí por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción y sin masa. La masa de m(1) se suelta desde el reposo. Utilizando la ley de conservación de la energía:
   a) Determine la velocidad de la masa de m(2) cuando la masa de m(1) golpea el suelo;
   b) Encuentre la altura máxima a la cual sube la masa m(2).
   
    
   
   R/ a) 8.87 m/s; b) 1.25 m.
   
   
   
   
5. Un bloque de 5 Kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una velocidad inicial de 8 m/s. El bloque se detiene después de recorrer 3 m a lo largo del plano, el cual está inclinado a un ángulo de 30º con la horizontal. Determine:
   a) El cambio de energía cinética del bloque;
   b) El cambio de su energía potencial;
   c) El coeficiente de fricción cinética.
   
   R/ a) - 160 J; b) 73.5 J; c) 0.59.